ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

 

ЛЕКЦИЯ N 11

Электронный газ при Т > 0.
Распределение Ферми-Дирака.
Анализ функции f(Е)

 

§ 1. Электронный газ при T > 0. Распределение Ферми-Дирака

Рис. 11.1

На приведенных выше рисунках 11.1 изображена одномерная потенциальная яма, заполненная электронным газом; на рис. а) при T = 0, на рис. б)  при T > 0. Слева от потенциальной ямы изображены графики зависимости среднего по времени числа электронов в одном квантовом состоянии - <n(E)> - от энергии электронов E. Энергия E отложена по вертикальной оси, проходящей вдоль левой границы ямы, сама функция <n(E)> отложена по горизонтальной оси, направленной влево.

При T = 0K электроны занимают все доступные им состояния с наинизшей энергией. В соответствии с принципом Паули  в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона, поэтому все нижние квантовые состояния до энергии E_F(0)  заняты. Таким образом, график функции <n(E)> представляет из себя ступеньку:

<n(E)> = 1 при E < E_F(0)  и  <n(E)> = 0 при E > E_F(0).

При нагревании металла часть электронов, энергия которых была близка к энергии Ферми, переходят в состояния с большей энергией, частично освобождая квантовые состояния с энергией E < E_F(0): ступенька графика <n(E)> размывается.

Аналитическую зависимость среднего числа ферминов в одном квантовом состоянии от их энергии и температуры получили итальянский физик Э. Ферми и английский физик П. Дирак.

Она имеет следующий вид:

и называется распределением Ферми-Дирака. Параметр E_F, входящий в распределение Ферми-Дирака, называется уровнем Ферми. В статистической физике этот параметр называется химическим потенциалом, его обозначают буквой µ, таким образом µ ≡ E_F.

Среднее число электронов в одном квантовом состоянии <n(E)> изменяется от нуля до единицы, в этих же пределах изменяется вероятность f(E_i) заполнения данных квантовых состояний.

Таким образом

С учетом того, что E_F ≡µ, функцию распределения Ферми-Дирака можно записать в таком виде:

Значение уровня Ферми E_F (или химического потенциала µ) определяют из условия нормировки  функции f(E_i): полное число электронов, находящихся во всех квантовых состояниях должно быть равно числу N свободных электронов в рассматриваемом объеме V.

Среднее число электронов в одном квантовом состоянии дается функцией Ферми-Дирака f(E_i) (11.1а). Так как расстояния между соседними уровнями при макроскопических объемах образца малы, то можно считать, что энергия меняется непрерывным образом, т.е. f(E_i) →  f(E).

Число квантовых состояний, приходящихся на интервал энергий dE получим, умножив плотность состояний g(E) (10.9) на dE. Число электронов dN, имеющих энергию в интервале от E до E+dE, получим, умножив f(E) на g(E)dE, т.е.

Наконец, проинтегрировав dN, получим N - полное число электронов в образце:

Это и есть условие нормировки функции распределения Ферми-Дирака.

Значение E_F (или химический потенциал µ) можно найти, подставив в условие нормировки (11.2) f(E) из (11.1а) и g(E) из (10.9). Однако аналитическое выражение для получающегося интеграла отсутствует. При не очень высоких температурах, таких, что kT << E_F, для уровня Ферми получается приближенное выражение:

Здесь E_F(0) определяется формулой (10.9).

§2. Анализ функции f(E)

Выпишем функцию распределения Ферми-Дирака в следующем виде:

Нетрудно убедиться, что при E = E_F функция f(E) = 1/2.

Поведение функции f(E) (и электронного газа в металле) зависит от соотношения между температурой металла T и температурой Ферми (10.11).

При T << T_F (т.е. kT << E_F) электронный газ называют вырожденным и график функции f(E) незначительно отличается от ступени. В самом деле, показатель экспоненты (E - E_F) / kT будет велик по модулю всюду, за исключением интервала энергий, в котором (E - E_F) ≤ kT. При этом, если E < E_F, то (E - E_F) / kT будет величиной отрицательной и большой по модулю, значит экспонента будет близка к нулю, а f(E) ≈ 1. В случае, если E > E_F, показатель экспоненты будет большой положительной величиной и f(E) ≈ 0.

 Запишем результаты анализа в следующем виде:

Из оценок, сделанных в § 2 лекция 10, T_F ≈ 60000K, значит вплоть до T_пл - температуры плавления металлов, электронный газ вырожден (самый тугоплавкий металл, вольфрам, имеет T_пл ≈ 3693K).

При T >> T_F электронный газ называется невырожденным. В этом случае график функции f(E) идет полого спадая и уже совсем не похож на ступеньку.

На рисунке 11.2 приведены графики функции f(E) (11.4) для различных температур.

Рис. 11.2

При больших значениях энергии электронов, таких, что E - E_F >> kT, единицей в знаменателе функции f(E) (11.4) можно пренебречь, тогда для "хвоста" функции f(E) справедлива следующая формула:

что совпадает с распределением Максвелла-Больцмана (см. Ч. 3, (2.14)).

Итоги лекции N 11

1. Зависимость среднего числа фермионов в одном квантовом состоянии <n(E_i)> от их энергии и температуры называется распределением Ферми-Дирака (см. (11.1)):

   

           здесь Е_F - уровень Ферми, параметр распределения, который определяют из условия нормировки. Другое название этого параметра - химический потенциал, который принято обозначать греческой буквой µ, т.е. E_F ≡ µ.

2. При не очень высоких температурах, когда kT<<E_F для уровня Ферми  справедливо приближенное выражение (см. (11.3)):

   

            здесь E_F(0) - энергия Ферми.

3. Так как среднее число фермионов в одном квантовом состоянии изменяется от 0 до 1, т.е. в тех же пределах, что и вероятность f(E_i) заполнения данных квантовых состояний, то для f(E_i) справедлива формула (11.1а), аналогичная формуле (11.1):

   

4. Анализ функции f(E) при Т=0 К дает следующие результаты:

   

5. При больших значениях энергии электронов, таких, что Е-Е_F>>kT, для "хвоста" функции f(Е) справедлива формула (11.5):

   

   что совпадает с распределением Максвелла-Больцмана.