В общем случае система счисления – это приёмы обозначения чисел.

Существуют непозиционные (знаковые) системы счисления и позиционные (поместные) системы счисления.

В непозиционной системе счисления числа изображаются набором знаков (цифр), при этом значение одного и того же знака остаётся неизменным (то есть не зависит от его расположения в числе).

Примером такой системы счисления является Римская система счисления, в которой используются, в частности, следующие буквы латинского алфавита:

один обозначают буквой «I»,

пять – «V», десять – «X»,

пятьдесят – «L»,

сто – «C»,

пятьсот – «D»,

тысячу – «M».

Число формируется из этих знаков, при этом, если предыдущая цифра меньше последующей, то производится вычитание (из большей (последующей) цифры вычитается меньшая (предыдущая)), иначе цифры складываются.

Например,

II = 1 + 1 = 2,

III = 1 + 1 + 1 = 3,

IV = 5 – 1 = 4,

XVIII = 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 18,

XIX = 10 + (10 – 1) = 19,

XX = 10 + 10 = 20,

XXI = 10 + 10 + 1 = 21.

Следует отметить, что в непозиционной системе счисления неудобно выполнять арифметические операции над многозначными числами.

В позиционной системе счисления числа также представляются набором знаков (цифр), при этом один и тот же знак имеет различные значения в зависимости от его расположения в числе, то есть позиционная система счисления – это система счисления, базирующаяся на позиционном расположении цифр.

В зависимости от количества цифр, использующихся в позиционной системе счисления, различают

двоичную позиционную систему счисления (содержит две цифры: 0 и 1),

троичную позиционную систему счисления (используются три цифры: 0, 1, 2)

и другие позиционные системы счисления, среди которых отметим также

восьмеричную (используется 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) и

шестнадцатеричную (используется 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, здесь A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15).

Количество цифр, использующихся в конкретной системе счисления, называют основанием данной позиционной системы счисления.

Следует отметить, что наибольшая цифра в какой-либо позиционной системе счисления на единицу меньше основания этой позиционной системы счисления.

Как известно, наиболее широкое распространение получила десятичная позиционная система счисления, имеющая основание 10 (то есть используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Эта система счисления возникла в середине первого тысячелетия н. э. в Индии, затем распространилась далее, в частности, была описана в рукописях на арабском языке, затем появилась в Европе.

В десятичной системе счисления десять единиц младшего разряда объединяются в одну единицу следующего (старшего) разряда и запись производится справа налево (то есть вначале записывают единицы, затем справа от единиц – десятки и т. д.).

Проиллюстрируем это простейшим примером. Допустим, некоторые предметы (например, яблоки) упаковали в пакеты по десять яблок в каждый пакет, а пакеты разложили по коробкам (в каждую коробку – по десять пакетов). Всего получилось 2 полных коробки (по 10 пакетов в каждой), осталось 9 полных пакетов (по 10 яблок в каждом) и еще осталось 3 яблока. Сколько было яблок?

Это можно записать так:

2 · 100 + 9 · 10 + 3 · 1, или

2 · 10² + 9 · 10¹ + 3 ·10⁰,

но, как известно, это число записывают так: 293.

Если в один пакет помещается 16 яблок, а в коробку – 16 пакетов, то разложив эти же 293 яблока по пакетам и коробкам (указанного большего объёма), получим 18 полных пакетов (по 16 яблок) и останется ещё 5 яблок. Затем, положив пакеты в коробки, получим 1 полную коробку (по 16 пакетов, то есть всего в коробке будет 256 яблок) и останется 2 пакета (по 16 яблок).

Таким образом, разложив эти яблоки, получим 1 полную коробку (по 256 яблок), 2 пакета (по 16 яблок) и ещё 5 яблок.

Это можно записать так:

1 · 256 + 2 · 16 + 5 · 1, или

1 · 16² + 2 · 16¹ + 5 · 16⁰,

но это число записывают так: 125₁₆.

Здесь индекс 16 означает, что число представлено в системе счисления с основанием 16. В этой (шестнадцатеричной) системе счисления шестнадцать единиц младшего разряда объединяются в одну единицу старшего разряда.

Таким образом, записи

2 · 10² + 9 · 10¹ + 3 ·10⁰ = 293 и

1 · 16² + 2 · 16¹ + 5 · 16⁰ = 125₁₆

определяют одну и ту же величину (в различных системах счисления).

В общем случае, если основание системы X, то в ней X единиц младшего разряда объединяются в одну единицу старшего разряда, то есть натуральное число в системе счисления с основанием X может быть представлено следующим образом:

a_n Xⁿ + a_n-1 X^n-1 + … + a₂ X² + a₁ X¹ + a₀ X⁰ = (a_n a_n-1 … a₂ a₁ a₀ )_X.

Здесь цифра a₀ обозначает количество единиц младшего разряда, цифры a₁ a₂…a_n-1 a_n обозначают количество единиц следующих разрядов.

Например:

• в двоичной системе счисления
  
  11000110₂ = 1 · 2⁷ + 1 · 2⁶ + 0 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 0 · 2³ + 1 · 2² + 1 · 2¹ + 0 · 2⁰;
  
• в троичной системе счисления
  
  21100₃ = 2 · 3⁴ + 1 · 3³ + 1 · 3² + 0 · 3¹ + 0 · 3⁰;
  
• в восьмеричной системе счисления
  
  306₈ = 3 · 8² + 0 · 8¹ + 6 · 8⁰;
  
• в десятичной системе счисления
  
  198 = 1 · 10² + 9 · 10¹ + 8 · 10⁰;
  
• в шестнадцатеричной системе счисления
  
  C6₁₆ = C · 16¹ + 6 · 16⁰.

Примечание: наиболее древней позиционной системой счисления является система с основанием 60, которая в настоящее время, в частности, используется при обозначении единиц измерения времени: 1 час = 60 мин, 1 мин = 60 с.