Перевод числа из десятичной системы счисления в позиционную систему счисления с основанием X можно выполнить следующим образом:

1) число, представленное в десятичной системе счисления, делится на X, при этом полученный остаток (натуральное число, меньшее X) запоминается;

2) полученное от деления число вновь делится на X, полученный остаток также запоминается;

3) деление (и запоминание остатков) продолжается до тех пор, пока не будет получено число, меньшее X.

После этого формируется число в позиционной системе счисления с основанием X: полученное последнее число и остатки записывают в обратном порядке, то есть справа записывают первый остаток, левее следующий остаток и так далее, в конце (слева) записывают последнее полученное число, меньшее X.

Пример 1.

Перевод числа 12 из десятичной системы счисления в позиционную систему счисления с основанием 2 (X = 2) можно выполнить так:

12 : 2 = 6 (остаток 0), так как 6 не меньше 2, то
6 : 2 = 3 (остаток 0), так как 3 не меньше 2, то
3 : 2 = 1 (остаток 1), так как частное 1 меньше 2, то записываем число в обратном порядке 1100₂.

То есть 12 = 1100₂.

Пример 2.

Перевод числа 250 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления (X = 8) можно выполнить аналогичным образом:

250 : 8 = 31 (остаток 2), так как 31 не меньше 8, то
31 : 8 = 3 (остаток 7), так как частное 3 меньше 8, то записываем число в обратном порядке 372₈.

То есть 250 = 372₈.

Пример 3.

Перевод числа 250 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления (X = 16) можно выполнить аналогично:

250 : 16 = 15 (остаток 10), так как частное 15 меньше 16, то записываем число (учитывая, что 15 = F, 10 = A) в обратном порядке FA₁₆.

То есть 250 = FA₁₆.

Попробуйте самостоятельно перевести число 250 в систему счисления с основанием 6 и сравните с ответом (ответ: 250 = 654₆).

Перевод в десятичную систему счисления

Перевод числа из позиционной системы счисления с основанием X в десятичную систему счисления можно выполнить, представив число в виде записанного ранее ряда:

a_n Xⁿ + a_n-1 X^n-1 + … + a₂ X² + a₁ X¹ + a₀ X⁰,

для которого надо выполнить операции возведения в степень, умножения и сложения.

Например,

1100₂ = 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 0 · 2⁰ = 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12,

372₈ = 3 · 8² + 7 · 8¹ + 2 · 8⁰ = 3 · 64 + 7 · 8 + 2 · 1 = 192 + 56 + 2 = 250,

FA₁₆ = F · 16¹ + A · 16⁰ = 15· 16¹ + 10 · 16⁰ = 240 + 10 = 250.

Попробуйте самостоятельно перевести число 654₆ в десятичную систему счисления.

Перевод чисел между системами счисления, отличными
от десятичной

В общем случае перевод чисел из позиционной системы счисления с основанием Y (отличным от 10) в позиционную систему счисления с основанием Z (также отличным от 10) можно выполнить следующим образом.

Число, записанное в системе с основанием Y, следует последовательно делить на число Z (это число Z должно быть предварительно представлено в системе счисления с основанием Y) и затем записать полученное последнее число и остатки в обратном порядке.

Например, надо перевести число 306₈ в троичную систему счисления (Y = 8, Z = 3). Следует отметить, что число три (представленное в троичной системе счисления) в восьмеричной системе счисления также равно трём. Тогда при переводе числа 3068 в троичную систему счисления можно это число последовательно делить на 3 (в восьмеричной системе счисления).

306₈ : 3 = 102₈ (остаток 0), так как 102₈ не меньше 3, то
102₈ : 3 = 26₈ (остаток 0), так как 26₈ не меньше 3, то
26₈ : 3 = 7₈ (остаток 1), так как 7₈ не меньше 3, то
7₈ : 3 = 2 (остаток 1), так как 2 меньше 3, то записываем число в обратном порядке 21100₃. То есть 306₈ = 21100₃.

Например, надо выполнить обратный перевод, то есть перевести число 21100₃ в восьмеричную систему счисления (Y = 3, Z = 8). Число 8 (представленное в восьмеричной системе счисления) будет представлено числом 22₃ в троичной системе счисления.

Тогда при переводе числа 21100₃ в восьмеричную систему счисления можно это число последовательно делить на 22₃.

21100₃ : 22₃ = 220₃ (остаток 20₃, то есть 20₃ = 6₁₀ = 6₈), так как 220₃ не меньше 22₃, то

220₃ : 22₃ = 10₃ (остаток 0), так как 10₃ меньше 22₃, то (учитывая, что 10₃ = 3₁₀ = 3₈) записываем число в обратном порядке 306₈.

То есть 21100₃ = 306₈.

Если основания систем счисления связаны соотношением

Y = Zⁿ (где n – натуральное число),

то перевод чисел из одной указанной системы в другую упрощается. В этом случае, при переводе из системы с основанием Y в систему с основанием Z, число разбивается на группы по n чисел в группе. Каждая группа переводится в систему с основанием Z, затем полученные цифры записывают в порядке следования групп.

При обратном переводе (из системы с основанием Z в систему с основанием Y) каждая цифра числа (представленная в системе с основанием Z) переводится в систему с основанием Y (по n знаков в каждой группе, при этом недостающие знаки дополняются нулями).

В настоящее время в компьютерах используется двоичная система счисления, а для отображения данных (представленных в памяти компьютера) широко используется также шестнадцатеричная система счисления. Так как основания этих систем счисления связаны соотношением

Y = Zⁿ (в данном случае 16 = 2⁴),

то перевод чисел из одной указанной системы в другую можно выполнить указанным способом.

При переводе двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления можно выполнить следующие действия.

Вначале разбиваем двоичное число на группы по 4 разряда (справа налево). Если в последней группе окажется менее 4 разрядов, то недостающие разряды дополняем нулями (слева).

Затем каждую группу двоичных разрядов переводят в десятичную систему (при этом полученные десятичные числа представляют шестнадцатеричными цифрами) и записывают эти цифры в порядке следования групп.

Например, при переводе числа 111000111₂ в шестнадцатеричную систему счисления разбивают данную последовательность на группы (дополнив недостающие разряды нулями)

0001₂ 1100₂ 0111₂,

затем выполняют перевод в десятичную систему счисления

0001₂ = 0 · 2³ + 0 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 0 + 0 + 0 + 1 = 1,

1100₂= 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 0 · 2⁰= 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12,

0111₂ = 0 · 2³ + 1 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 0 · 8 + 1 · 4 + 1 · 2 + 1 · 1 = 0 + 4 + 2 + 1 = 7,

то есть, получаем три числа 1₁₀, 12₁₀, 7₁₀.

Так как 1₁₀ = 1₁₆, 12₁₀ = C₁₆, 7₁₀ = 7₁₆, то получаем

111000111₂ = 1C7₁₆.

Обратный перевод шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления можно выполнить следующим образом.

Каждую шестнадцатеричную цифру представляют десятичным числом, которую переводят в двоичную систему (представляя 4 разрядами). Получившиеся двоичные числа записывают в порядке их следования.

Например, при переводе числа E2₁₆ в двоичную систему счисления это число представляют так:

E₁₆ = 14₁₀, 2₁₆ = 2₁₀,

далее выполняют перевод в десятичную систему счисления

14 = 1110₂, 2 = 0010₂

и записывают E2₁₆ = 11100010₂.

Аналогичным образом можно переводить число, например, из двоичной системы счисления в восьмеричную, но, так как

8 = 2³,

то последовательность бит разбивают на группы по 3 разряда.