Рассмотрим предварительно простейший пример. Допустим, лист бумаги расчертили на 10 равных частей и 7 из них закрасили, затем одну из незакрашенных частей вновь разделили на 10 равных частей и закрасили 4 из них. Всего будет закрашено 7/10 и 4/100 части листа.

Это, как известно, записывают

7/10 + 4/100, или

7 · 10^–1 + 4 · 10^–2, или

0,74.

Если этот же лист бумаги расчертили на 16 равных частей и закрасили 9 частей, затем вновь одну из незакрашенных частей разделили на 16 равных частей и закрасили 5 из них, всего будет закрашено 9/16 и 5/256 части листа.

Это можно записать

9/16 + 5/256 или

9 · 16^–1 + 5 · 16^–2.

Сокращённо это число представляют 0,95₁₆.

В общем случае правильная дробь в системе счисления с основанием X может быть представлена следующим образом:

(0, a_-1 a_-2… a_-m)_X = a_-1 X^–1 + a_-2X^–2 +…+ a_-m X^–m.

Например:

• в двоичной системе счисления

0,1101₂ = 1 · 2^–1 + 1 · 2^–2 + 0 · 2^–3 + 1 · 2^–4;

• в троичной системе счисления

0,201₃ = 2 · 3^–1 + 0 · 3^–2+ 1 · 3^–3;

• в восьмеричной системе счисления

0,716₈ = 7 · 8^–1 + 1 · 8^–2 + 6 · 8^–3;

• в десятичной системе счисления

0,256 = 2 · 10^–1 + 5 · 10^–2 + 6 · 10^–3;

• в шестнадцатеричной системе счисления

0,EC₁₆ = E · 16^–1 + C · 16^–2.


Перевод правильных дробей из одной системы счисления в другую

Перевод правильной дроби из десятичной системы счисления в позиционную систему счисления с основанием X можно выполнить следующим образом:

1. Число, представленное в десятичной системе счисления, умножается на X, при этом получившаяся целая часть числа запоминается.


2. Дробная часть полученного от умножения числа вновь умножается на X и вновь получившаяся целая часть числа запоминается.


3. Умножение (и запоминание целой части) продолжается до тех пор, пока не будет получено целое число без остатка (или пока не будет достигнута требуемая точность).

После этого формируется число в позиционной системе счисления с основанием X: полученные целые числа записывают (после запятой) последовательно.

Пример 1.

Чтобы перевести число 0,34375 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления (X = 2) можно выполнить следующие действия:

0,34375 · 2 = 0,6875

(запоминают целую часть, равную 0), так как дробная часть не равна 0, то дробная часть полученного числа вновь умножается на 2;

0,6875 · 2 = 1,375

(вновь запоминают целую часть, равную 1), так как дробная часть не равна 0, то

0,375 · 2 = 0,75

(также запоминают целую часть, равную 0), так как дробная часть не равна 0, то

0,75 · 2 = 1,5

(запоминают целую часть, равную 1), так как дробная часть не равна 0, то

0,5 · 2 = 1,0

(запоминают целую часть, равную 1), так как дробная часть равна 0, то, записав полученные целые части (после запятой), получают

0,34375 = 0,01011₂.

 

Пример 2.

Чтобы перевести число 0,34375 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления (X = 8) можно выполнить аналогичные действия:

0,34375 · 8 = 2,75

(запоминают целую часть, равную 2), так как дробная часть не равна 0, то дробная часть полученного числа вновь умножается на 8;

0,75 · 8 = 6,0

(запоминают целую часть, равную 6), так как дробная часть равна 0, то, записав полученные целые части (после запятой), получают

0,34375 = 0,26₈.

 

Пример 3.

Перевод числа 0,515625 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления (X = 16) можно осуществить, выполнив следующие действия:

0,515625 ·16 = 8,25

(целая часть равна 8), так как дробная часть не равна 0, то дробная часть полученного числа вновь умножается на 16;

0,25 · 16 = 4,0

(запоминают целую часть, равную 4), так как дробная часть равна 0, то записав полученные целые части (после запятой) получают

0,515625 = 0,84₁₆.

Попробуйте самостоятельно перевести число 0,34375 в шестнадцатеричную систему счисления и сравните с ответом (ответ 0,5816).

Обратный перевод правильной дроби из позиционной системы счисления с основанием X в десятичную систему счисления можно выполнить, представив число в виде записанного ранее ряда:

(0, a_-1 a_-2…a_-m)_X = a_-1 X^-1 + a_-2 X^-2 + … + a_-m X^-m,

для которого надо выполнить операции возведения в степень, умножения и сложения. При этом основание X представляется в десятичной системе счисления.

Например,

• в двоичной системе счисления (X = 2)

0,01011₂ = 0 · 2^-1 + 1 · 2^-2 + 0 · 2^-3 + 1 · 2^-4 + 1 · 2^-5 = 1/4 + 1/16 + 1/32 = = 0,25 + 0,0625 + 0,03125 = 0,34375;

• в шестнадцатеричной системе счисления (X = 16)

0,8C₁₆ = 8 · 16^-1 + C · 16^-2 = 8 · 16^-1 + 12 · 16^-2 = 8/16 + 12/256 = 0,546875.