ФИЗИКА в конспективном изложении. Часть 3

Содержание Назад Далее

 

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ
И ТЕРМОДИНАМИКИ

23. Элементы классической статистики

23.1. Классическая и квантовая статистика

Классическая статистика описывает макросистемы (22.1), состоящие из микрочастиц, движение которых в рассматриваемых условиях можно описывать законами классической механики (механики Ньютона). Примером такой системы, подчиняющейся законам классической статистики, является идеальный газ (22.2.2).

В общем случае для описания движения микрочастиц необходимо применять законы квантовой механики. Статистическая физика, описывающая макросистемы, состоящие из микрочастиц, движение которых описывается законами квантовой механики, называется квантовой статистикой. Основы квантовой статистики будут даны после изложения раздела "Квантовая физика".

23.2. Вероятность

Пусть какая-либо физическая система может находиться в различных физических состояниях. Предположим, что эти состояния дискретны, т.е. характеризующие их физические величины изменяются скачками и каждое состояние характеризуется определенным значением x_i некой физической величины x. В некоторых состояниях система будет проводить большее время, в некоторых - меньшее. Обозначим N_i - число измерений, которое дает значение измеряемой величины x, равное x_i. Вероятностью w_i того, что величина x имеет значение x_i называется предел отношения числа измерений N_i, дающих значение x, равное x_i, к полному числу измерений N при стремлении N к бесконечности, т.е.

Дискретное значение физических величин - характерная особенность всех микрочастиц (атомов, молекул), например, энергия вращательного и колебательного движения молекулы может меняться только дискретно, скачками. Про такую величину говорят, что она квантуется.

Вместе с тем можно с большой точностью считать, что энергия поступательного движения (5.5) молекул газа не квантуется, т.е. изменяется непрерывно. Значит непрерывно меняется и скорость молекул газа.

Для непрерывной случайной величины, например, скорости v вероятность dw_v того, что скорость молекулы v принимает значения в интервале от v до v+dv, вычисляется так:

 

Здесь N - полное число измерений скорости, dN_v - число измерений, в которых скорость молекулы попала в интервал от v до v+dv.

Очевидно, что должно выполняться условие нормировки. Для дискретных величин:

 

Это следует из определения вероятности w_i. В самом деле:

Аналогично и для непрерывной случайной величины должно выполняться условие нормировки:

 

23.3. Плотность вероятности или функция распределения вероятности

Вероятность dw_v зависит от значения модуля скорости v и интервала dv, т.е.:

 

Функция F(v) называется плотностью вероятности или функцией распределения вероятности:

здесь и далее мы подразумеваем, что N →∞.

23.4. Распределение Максвелла

Для молекул идеального газа, находящегося в термодинамическом равновесии,  функцию F(v) получил Д. К. Максвелл (1860). Она определяет распределение молекул идеального газа по скоростям:

 

здесь v - модуль скорости молекулы;

m₀ - масса молекулы;

k = 1,38·10^-23 Дж/К - постоянная Больцмана;

T - абсолютная температура;

e = 2,73... - основание натуральных логарифмов.

23.4.1. График функции распределения Максвелла F(v)

График функции F(v) представляет собой кривую с максимумом.

При v = 0 множитель v² обращает F(v) в ноль. При увеличении функция F(v) сначала растет за счет множителя v², а затем экспоненциально стремится к нулю.

Площадь, ограниченная графиком функции F(v), равна единице, т.к.

23.4.2. На какие вопросы можно ответить, используя распределение Максвелла?

Ниже приводятся некоторые простейшие примеры применения распределения Максвелла.

23.4.2.1. Как найти число молекул dN_v со скоростями в интервале от v до v+dv?

Эту формулу также называют распределением Максвелла.

23.4.2.2. Как найти Δw - вероятность обнаружения молекулы со скоростью v в интервале от v₁ до v₂ и число таких  молекул ΔN?

Записанные выше формулы и поясняющий их следующий график дают ответ на поставленный вопрос.

23.4.2.3. Как найти вероятность и число молекул со скоростями:

23.4.2.4. Как найти наиболее вероятную скорость молекул?

Наиболее вероятная скорость молекул - это скорость, при которой F(v) достигает максимального значения.

Исследуем произведение  на максимум, для этого возьмем производную от него по v и приравняем к нулю.

Значения v = 0 и v = ∞ отвечают минимумам функции F(v). Сокращая на v и , получим:

Откуда:

23.4.2.5. Как найти среднюю скорость молекул?

По определению среднего

из (23.3) и (23.4) получим:

Сделав замену переменных v² = x и проинтегрировав по частям, получим:

23.4.2.6. Как найти среднюю квадратичную скорость?

Средняя квадратичная скорость v_{ср. кв.} характеризует среднюю энергию поступательного движения молекулы.

По определению:

т. к.

Мы получили уже известный нам из (22.2.7) результат.

Сибирская государственная геодезическая академия (СГГА), 2006.