Приложение 2. Эпюр 2 Поверхности. Точка и линия на поверхности. Пересечение поверхностей плоскостями (Индивидуальная графическая работа)

 

1. Назначение и основные требования

Индивидуальная работа по начертательной геометрии (Эпюр 2) предназначена для домашней самостоятельной работы студентов и является контролем их знаний по теме "Поверхности. Точка и линия на поверхности. Пересечение поверхностей плоскостями".

Прежде, чем выполнить задание, студент должен ознакомиться с теоретической частью темы [1,2,3,4,5], а в аудитории решить типовые задачи, представленные в "Сборнике задач".

При защите индивидуального задания студент должен объяснить выполненные построения и ответить на контрольные вопросы по теме.

Эпюр 2 оформляется в соответствии с требованиями стандартов ЕСКД [6,7,8,9] и выполняется карандашом на листе чертёжной бумаги формата А3 (297×420) мм, в нижнем углу которого помещается основная надпись по форме 1.

Индивидуальная графическая работа Эпюр 2 состоит из трёх задач, каждая из которых выполняется на отдельном формате А3 в масштабе 1:1.

Все видимые основные линии построений должны быть выполнены сплошными линиями толщиной S=(0,8-1) мм, а линии связи - тонкими толщиной S/3 мм; линии невидимых контуров показывают штриховыми линиями толщиной S/2 мм. Точки на чертеже желательно вычерчивать в виде окружностей ø(1,5-2) мм. Все основные вспомогательные построения должны быть сохранены.

ЗАДАЧИ к Эпюру 2

Варианты индивидуальных заданий к Эпюру 2

Для всех вариантов значения Ø = 80 мм; h = 100 мм

Вариант N1	Вариант N2
Вариант N3	Вариант N4
Вариант N5	Вариант N6
Вариант N7	Вариант N8
Вариант N9	Вариант N10
Вариант N11	Вариант N12
Вариант N13	Вариант N14
Вариант N15

 

	Задача 1
	Построить профильную проекцию цилиндрической поверхности. Построить проекции линий пересечения сквозного выреза на поверхности цилиндра. Определить видимые и невидимые линии. Построить прямоугольную изометрическую проекцию цилиндра с вырезом. Определить видимые и невидимые линии.
	Указания к решению задачи:
	1)	Построить профильную проекцию цилиндрической поверхности. Определить видимые и невидимые точки.
	На эпюре цилиндрическая поверхность задаётся граничными (очерковыми) образующими и линией пересечения цилиндрической поверхности с соответствующей главной плоскостью проекций (следом поверхности). Таким образом, цилиндрическая поверхность изображается в виде двух прямоугольников и окружности, как показано на рисунке.
	Точка на поверхности цилиндра может быть построена с помощью образующей цилиндра, проходящей через неё. Точки 1, 2, 3 лежат на поверхности цилиндра, поэтому фронтальные проекции точек 1", 2", 3" совпадают с самими точками. Горизонтальные проекции всех точек 1', 2', 3' всегда будут лежать на окружности, а профильные проекции точек 1''', 2''', 3''' находятся с помощью расстояния у каждой точки от оси симметрии цилиндра Х, измеренного на горизонтальной проекции. Эти расстояния y откладываются на профильной проекции цилиндра от оси симметрии Z на соответствующих линиях связи.
	На каждой проекции цилиндра различают видимую и невидимую части поверхности. О видимости фронтальных проекций точек судят по горизонтальной и профильной проекциям цилиндра. Точки, расположенные на горизонтальной проекции цилиндра ниже оси симметрии Х (1',2'), и точки, расположенные на профильной проекции цилиндра справа от оси симметрии Z (1''',2'''), будут видимые на фронтальной проекции. Точки, расположенные на горизонтальной проекции цилиндра выше оси симметрии Х (3'), и точки, расположенные на профильной проекции цилиндра слева от оси симметрии Z (3'''), будут невидимые на фронтальной проекции. О видимости профильных проекций точек судят по горизонтальной и фронтальной проекциям цилиндра.Точки, расположенные на горизонтальной проекции цилиндра слева от оси симметрии У (1'), и точки, расположенные на фронтальной проекции цилиндра слева от оси симметрии Z (1",2"), будут видимые на профильной проекции цилиндра. Точки, расположенные на горизонтальной проекции цилиндра справа от оси симметрии У (3'), и точки расположенные на фронтальной проекции цилиндра справа от оси симметрии Z (3"), будут невидимые на профильной проекции цилиндра.
	2)	Построить проекции линий пересечения сквозного выреза на поверхности цилиндра. Определить видимые и невидимые линии.
	для того, чтобы построить проекции линий пересечения сквозного выреза на поверхности цилиндра, представим сквозной вырез, состоящим из отдельных плоскостей α1, α2, α3, пронизывающих поверхность цилиндра, и найдём проекции точек пересечения следов плоскостей α1, α2, α3 с образующими цилиндра. Чем больше возьмём точек на плоскости, тем точнее будет построена линия пересечения на поверхности. На рисунке α1, α2, α3 - следы секущих плоскостей, образующих сквозной вырез. Точки 11-12, 21-22, 31-32, 41-42, 51-52, 61-62, 71-72, 81-82 соответственно точки входа и выхода выреза на поверхности цилиндра; б) найдём проекции обозначенных точек. Фронтальные проекции точек совпадают с самими точками и лежат на следах секущих плоскостей α1, α2, α3, образующих сквозной вырез. Горизонтальные проекции точек будут лежать на окружности цилиндра и находятся по линиям связи. Профильные проекции точек строятся с помощью координат у каждой точки, которые откладываются от оси симметрии цилиндра Z на профильной проекции на соответствующих линиях связи. Полученные проекции точек надо соединить между собой в той последовательности, как они обозначены на фронтальной проекции.
	Определяем видимость точек. На профильной проекции точки (3'''1) и (3'''2 ) невидимые, так как они расположены на горизонтальной проекции цилиндра справа от оси симметрии У, а вот точки 4'''1 и 4'''2 оказались видимые, так как координаты этих точек у41=у42 оказались больше координат точек у12=у11. На горизонтальной проекции пунктирными линиями надо соединить точки 1'1 и 1'2 , 6'1 и 6'2 и точки 3'1 и 3'2 ; эти линии показывают невидимые линии пересечения плоскостей α1 с α2 , α2 с α3 , α1 с α3, которые проходят внутри цилиндра. Эти линии невидимы и на профильной проекции цилиндра. Следует отметить, что на профильной проекции цилиндра часть граничных образующих между точками 2'''2 и 5'''2 и точками 2'''1 и 5'''1 исчезнет.
	3)	Построить прямоугольную изометрическую проекцию цилиндра с вырезом. Определить видимые и невидимые линии.
	а) прямоугольная изометрическая проекция цилиндра строится на изометрических осях, расположенных под углом 120°. На эпюре цилиндра отметим оси координат Х, У, Z и начало координат точку О, которую совместим с центром 0' изометрических осей х', у', z';
	б) окружность в прямоугольной изометрической проекции будет изображаться в виде эллипса. Большая ось эллипса (2a) определяется по формуле: 2a = 1,22 ×Øцил, а малая ось эллипса (2b) определяется по формуле: 2b = 0,71×Øцил, где Øцил - диаметр окружности цилиндра. Окружность цилиндра лежит в горизонтальной плоскости проекций ХОУ, а эллипс будет лежать в плоскости х'о'у'. Большую ось эллипса надо отложить на линии, перпендикулярной оси z', отложив расстояние а вправо и влево от точки О', а малая ось эллипса будет совпадать с осью z'. Для этого надо отложить расстояние в вверх и вниз от точки О' вдоль оси z'. По осям x' и y' откладываем от точки О' в разные стороны половину диаметра окружности цилиндра. Получаем 8 точек, которые соединяем плавной кривой по лекалу. Из крайних точек большой оси эллипса вверх параллельно оси z' откладываем высоту цилиндра и строим еще один эллипс, представляющий верхнее основание цилиндра; в) последовательно переносим точки с эпюра на прямоугольную изометрическую проекцию цилиндра, измеряя их координаты х, у, z на эпюре. При этом отмечаем видимые и невидимые точки. Например, точки 11 и 12 на эпюре имеют координату х1 , которую надо отложить влево от точки О' на оси x'. Через полученную точку на оси x' надо провести вспомогательную линию, параллельную оси y', и попасть на линию эллипса. От точек на эллипсе вверх откладываем координату z1 и получаем две точки: 11 - видимая, 12 - невидимая. Так как координата х1 одинакова для точек 71 и 72, 61 и 62 можно, замерив высоты этих точек на эпюре, перенести их на изометрию цилиндра и построить точки 71, 61 - видимые, а точки 72, 62 - невидимые. Сплошной линией соединяем точки 11,71, 61 и пунктирной линией - точки 12, 72, 62. Для точек 21 и 22 координата х =0, а координата z2=z1. Эту координату откладываем вверх от точек, в которых ось y' пересекает линию эллипса. Получаем две точки: 21 - видимая, 22 - невидимая. Для точек 31 и 32 координату х3 на изометрии цилиндра надо отложить по оси x' вправо от точки О', провести линию, параллельную оси y', и попасть на линию эллипса. Из точек на линии эллипса вверх откладываем координаты z3=z1, получаем две точки: 31 и 32 - обе невидимые. Пунктирной линией соединяем невидимые точки 12, 22, 32 , а сплошной линией - видимые точки 11 и 21 до боковой образующей цилиндра, а затем до точки 31 идёт пунктирная линия. Точки 51, 41, 52, 42 строим аналогичным способом. Точки 62, 52, 42, 32 соединяем пунктирной линией, которая переходит в невидимую линию вблизи точки 31. Соединив точки 11 и 12 , 31 и 32, 61 и 62 пунктирной линией, получим три невидимые линии пересечения, которые проходят внутри цилиндра.

 

	Задача 2
	Построить профильную проекцию конической поверхности. Построить проекции линий пересечения сквозного выреза на поверхности конуса. Определить видимые и невидимые линии. Построить развёртку боковой поверхности конуса с вырезом.
	Указания к решению задачи:
	1)	Построить профильную проекцию конической поверхности. Определить видимые и невидимые точки.
	На эпюре коническая поверхность задаётся граничными (очерковыми образующими) и линией пересечения конической поверхности с соответствующей главной плоскостью проекций (следом конической поверхности). Таким образом, коническая поверхность изображается в виде двух треугольников и окружности, как показано на рисунке.
	Точка на поверхности конуса может быть построена двумя способами: с помощью образующей конуса, проходящей через точку, и с помощью параллели Параллель - это линия, которая лежит на следе секущей плоскости α, параллельной основанию конуса. Параллель на горизонтальной плоскости проекций изображается в виде окружности, радиус которой равен расстоянию от оси симметрии конуса до крайней точки на граничной образующей конуса. Фронтальные проекции точек 1, 2, 3 совпадают с самими точками, которые лежат на поверхности конуса. Горизонтальные проекции точек 1', 3' найдены с помощью образующих, проведённых через точки 1 и 3. Фронтальная образующая через точку 1 построена с помощью точек S" и 4", а через точку 3 - с помощью точек S" и 5". По линиям связи строим горизонтальные проекции точек 4' и 5', которые лежат на большой окружности основания конуса, и соединяем их с точкой S'. Получаем горизонтальные проекции образующих S'4', S'5'. Из точек 1" и 3" опускаем вниз линии связи до пересечения с горизонтальными проекциями образующих S'4' и S'5' и получаем горизонтальные проекции точек 1' и 3'. Горизонтальная проекция точки 2' построена с помощью параллели. Для этого через точку 2'' проведена секущая плоскость a, параллельная основанию конуса, а на горизонтальной проекции построена проекция параллели - окружность радиусом R2. Горизонтальная проекция точки 2' будет находиться на пересечении этой окружности с линией связи от точки 3". Профильные проекции точек 1''', 2''', 3''' определяют с помощью расстояния у каждой точки от оси симметрии конуса X, измеренного на горизонтальной проекции конуса. Эти расстояния у откладывают на профильной проекции конуса от оси симметрии Z на соответствующих линиях связи точек.
	На эпюре конуса различают видимую и невидимую части поверхности. Точки, расположенные на горизонтальной проекции конуса ниже оси Х (1',2',3'), и точки, расположенные на профильной проекции конуса справа от оси симметрии Z (1''',2''',3'''), будут видимые на фронтальной проекции. Точки, расположенные на горизонтальной проекции конуса выше оси Х, и точки, расположенные на профильной проекции конуса слева от оси симметрии Z, будут невидимые на фронтальной проекции. Точки на горизонтальной проекции конуса видимые. Точки, расположенные на горизонтальной проекции конуса слева от оси симметрии У(1',2'), и точки, расположенные на фронтальной проекции конуса слева от оси симметрии Z (1",2"), будут видимые на профильной проекции конуса. Точки, расположенные на горизонтальной проекции конуса справа от оси симметрии У (3'), и точки, расположенные на фронтальной проекции конуса справа от оси симметрии Z (3"), будут невидимые на профильной проекции (3''').
	2)	Построить проекции линий пересечения сквозного выреза на поверхности конуса. Определить видимые и невидимые линии.
	а) представим, что α1, α2, α3, α4- вспомогательные секущие плоскости, образующие сквозной вырез в конусе (рис. В.6). Обозначим точки входа и выхода выреза на поверхности конуса соответственно 11-12, 21-22, 31-32, 41-42, 51-52, 61-62, 71-72, 81-82. Эти точки образуются в результате пересечения образующих конуса со следами плоскостей α1, α2, α3, α4; б) определим проекции обозначенных точек. Фронтальные проекции точек совпадают с самими точками. Горизонтальные проекции точек лежат на пересечении горизонтальных проекций образующих, проведённых через точки, с линиями связи. Горизонтальные проекции точек 11, 12 и 5'1, 5'2 определены с помощью параллелей. Для этого через точку и 1''1 -1''2 проведена секущая плоскость α5, параллельная основанию конуса и измерен радиус параллели R1 от оси симметрии конуса до крайней точки на граничной образующей конуса. На горизонтальной проекции конуса радиусом R1 проведена окружность, которая при пересечении с линией связи от точек 1''1 и 1''2 построит горизонтальные проекции точек 1''1 и 1''2 . Точки 5''1= 5''2 и 4''1 = 4''2 лежат в плоскости α3 , которая определяет радиус параллели R5 . На горизонтальной проекции конуса радиусом R5 проведена окружность, которая при пересечении с линиями связи от точек 5''1 , 5''2 и 4''1 , 4''2 построит горизонтальные проекции точек 5'1 и 5'2, 4'1 и 4'2. Профильные проекции точек строятся с помощью координат у каждой точки, которые откладываются от оси симметрии конуса Z на профильной проекции на соответствующих линиях связи всех точек. На рис. В.6 показано построение профильных проекций точек 4'"1 и 4'"2. Полученные проекции точек надо соединить плавной линией между собой в той последовательности, как они указаны на фронтальной проекции конуса;
	в) определяем видимость точек. На горизонтальной проекции конуса все точки видимые. Но внутри конуса имеются невидимые линии пересечения секущих плоскостей. Это линии пересечения плоскостей α1 и α2 (11-12) , плоскостей α1 и α4 (71-72), плоскостей α3 и α4 (51-52) , плоскостей α3 и α2 (41-42). Поэтому на горизонтальной проекции конуса надо соединить между собой пунктирной линией точки 1'1, 1'2, 4'1и 4'2, 7'1 и 7'2, 5'1 и 5'2. Часть линии 5'1 и 5'2 от точки 1'1 до точки 5'1 и от точки 1'2 до точки 5'2 будет видима. На профильной проекции эти линии будут все невидимые. Следует отметить, что часть граничной образующей конуса между точками 1'''1 и 5'''1, 1'''2 и 5'''2 исчезнет. На профильной проекции конуса невидимые точки, это точки 21 и 22, 31 и 32 , 41 и 42, которые расположены на горизонтальной проекции справа от оси симметрии У. Но так, как координаты у точек 7'''1 и 7'''2 оказались меньше координаты у точек 2'''1 и 2'''2 , то точки 2'''1 и 2'''2 оказались видимые и участок кривой линии от точек 1'''1 и 1'''2 до кривой линии, образованной точками 51,2, 61,2, 71,2 , становится видимым.
	3)	Построить развёртку боковой поверхности конуса
	Строим сектор радиусом r = l, где l - длина образующей конуса. Дугу сектора составляем из 12 участков и обозначаем их цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 0. Расстояние между цифрами равно хорде, измеренной между этими же цифрами на окружности основания конуса, которая разделена на 12 равных частей. Точки, обозначенные цифрой 0, соединяем линией с точкой S-вершиной конуса, и получаем развёртку боковой поверхности конуса, на которую надо перенести точки входа и выхода сквозного выреза. Например, построим точки 51 и 52, которые находятся на образующей конуса, обозначенной цифрой 3 и 9.
	На развёртке соединим точки 3 и 9 с вершиной S линиями. Затем переносим точки 51 и 52 по линии связи на фронтальной проекции на граничную образующую конуса и от точки S" замеряем радиус r5, который определяет натуральную величину расстояния от точки S до точек 51 и 52 на развёртке конуса. Этим радиусом r5 проводим дугу из точки S до пересечения с образующей 3 и 9. На этом радиусе будут расположены так же точки 41 и 42. Определим положение образующих для этих точек. На горизонтальной проекции конуса через точку S' и точки 41' и 42' проведём проекции образующих этих точек до пересечения с окружностью основания конуса. Затем замерим расстояние по хорде от точек пересечения образующих с окружностью до ближайшей цифры на этой окружности и отложим эти расстояния от оцифрованного сектора на развёртке. Точка 41' лежит в секторе между цифрами 4 и 5, а точка 42' лежит в секторе между цифрами 7 и 8. Полученные точки на дуге радиусом r соединяем с вершиной S линией и на пересечении этих линий с окружностью радиусом r4 получаем точки 41 и 42. Принцип построения других точек сквозного выреза на развёртке аналогичен. Построив точки на развёртке конуса, их надо соединить плавной кривой линией.

 

	Задача 3
	Построить профильную проекцию сферической поверхности. Построить проекции линий пересечения сквозного выреза на поверхности сферы. Определить видимые и невидимые линии.
	Указания к решению задачи:
	1)	Построить профильную проекцию сферической поверхности. Определить видимые и невидимые точки.
	На эпюре сферическая поверхность задаётся тремя окружностями одинакового диаметра.
	Точка на поверхности сферы может быть построена с помощью параллели. Для этого через фронтальные проекции точек 1", 2", 3", которые совпадают с самими точками 1, 2, 3 на поверхности сферы, надо провести секущие плоскости α1, α2, α3, параллельные оси симметрии сферы Х. В сечении этих плоскостей поверхности сферы образуются окружности разного радиуса - пaраллели. Параллели изображаются на горизонтальной плоскости сферы окружностями, радиусы которых измеряются от оси симметрии сферы Z до крайней точки большой окружности (главного меридиана) на фронтальной проекции сферы. Горизонтальные проекции точек 1', 2', 3' образуются при пересечении линий связи с соответствующими окружностями. Профильные проекции точек 1''', 2''', 3''' строятся с помощью координаты у каждой точки, измеренной на горизонтальной проекции от оси симметрии сферы Х до проекции точек. Эти координаты у надо отложить на профильной проекции сферы на соответствующих линиях связи от оси симметрии сферы Z.
	На эпюре сферы различают видимую и невидимую части поверхности. Точки, расположенные на горизонтальной проекции ниже оси симметрии сферы Х – 1', 2', 3' и точки, расположенные на профильной проекции сферы вправо от оси симметрии Z –1''', 2''', 3''' будут видимые на фронтальной проекции сферы. Точки, расположенные выше оси симметрии Х на горизонтальной проекции, и точки, расположенные слева от оси симметрии Z на профильной проекции, будут невидимые на фронтальной проекции сферы. Точки, расположенные на горизонтальной проекции слева от оси симметрии У – 1', 2' и точки, расположенные на фронтальной проекции слева от оси симметрии Z – 1", 2" будут видимые на профильной проекции 1''', 2'''. Точки, расположенные на горизонтальной проекции справа от оси симметрии У – 3' и точки, расположенные на фронтальной проекции справа от оси симметрии Z – 3" будут невидимые на профильной проекции (3'''). Точки, расположенные на фронтальной проекции выше оси симметрии Х – 1" и точки, расположенные на профильной проекции выше оси симметрии У – 1''' будут видимые на горизонтальной проекции 1'. Точки, расположенные на фронтальной проекции ниже оси симметрии Х – 2",3" и точки, расположенные на профильной проекции ниже оси симметрии У – 2''',3''' будут невидимые на горизонтальной проекции (2'), (3').
	2)	Построить проекции линий пересечения сквозного выреза на поверхности сферы. Определить видимые и невидимые линии.
	а) представим, что α1, α2, α3, - вспомогательные секущие плоскости, образующие сквозной вырез на сфере (рис. В.8). Обозначим точки входа и выхода этих плоскостей на поверхности сферы соответственно 11-12, 21-22, 31-32, 41-42, 51-52, 61-62, 71-72, 81-82. Эти точки образуются в результате пересечения следов плоскостей α1, α2, α3 с секущими плоскостями α4, α5, α6, α7, которые параллельны оси симметрии сферы и образуют параллели сферы, которые изображаются на горизонтальной проекции сферы в виде окружностей разного диаметра; б) определим проекции обозначенных точек. Фронтальные проекции точек совпадают с самими точками на поверхности сферы и лежат каждая на своей параллели. Чтобы построить горизонтальные проекции точек, надо из каждой точки на фронтальной проекции сферы опустить вниз линии связи до пересечения с параллелью каждой точки. Например, точки 51' и 52' будут лежать на пересечении линии связи этих точек с окружностью (параллелью) радиусом R5 , а точки 81' и 82' будут лежать на пересечении линии связи этих точек с окружностью (параллелью) радиусом R8 и т.д. Профильные проекции точек строятся на соответствующих линиях связи этих точек с помощью координат у этих точек. Например, на горизонтальной проекции надо замерить координаты у точек 51' и 52' , 31' и 32' от оси симметрии сферы Х и отложить их на профильной проекции на соответствующих линиях связи от оси симметрии сферы Z влево и вправо. Полученные проекции точек надо соединить между собой плавной линией в той последовательности, как они указаны на фронтальной проекции, учитывая видимость точек;
	в) определяем видимость точек. Точки, расположенные на фронтальной проекции выше оси Х: 5''1, 6''1, 7''1, 4''1, 5''2, 6''2, 7''2, 4''2 - все видимые на горизонтальной проекции, поэтому их надо соединить сплошной линией. Точки, расположенные на фронтальной проекции ниже оси Х: 8''1, 1''1, 2''1, 3''1, 8''2, 1''2, 2''2, 3''2 - все невидимые на горизонтальной проекции, поэтому их надо соединить пунктирной линией. При этом часть окружности на горизонтальной проекции между точками 41' и 71', 42' и 72' исчезнет. Внутри сферы секущие плоскости α1, α2 и α3 образуют невидимые линии пересечения: α1 пересекается с α2 по линии 51- 52 , α1 пересекается с α3 по линии 11- 12 , α3 пересекается с α2 по линии 31-32. Поэтому, на горизонтальной проекции точки 11' и 12', 31' и 32' надо соединить пунктирной линией. Точки, расположенные на фронтальной проекции справа от оси Z: 5''1, 6''1, 4''1, 3''1,5''2, 6''2, 4''2 , 3''2 - все невидимые на профильной проекции, поэтому их надо соединить пунктирной линией. Точки, расположенные на фронтальной проекции слева от оси Z: 7''1, 8''1, 1''1, 2''1, 7''2, 8''2, 1''2, 2''2 - все видимые на профильной проекции, поэтому их надо соединить сплошной линией. Пунктирной линией соединяем точки 5'''1-5'''2, 3'''1- 3'''2. При этом часть окружности между точками 2'''1 и 7'''1, 2'''2 и 7'''2 исчезнет.