4. ПОВЕРХНОСТИ

4.1 Классификация поверхностей и их изображение на чертеже

В зависимости от формы образующей и закона её перемещения в пространстве все поверхности делятся на две группы: линейчатые поверхности и нелинейчатые поверхности.

Линейчатые поверхности - это поверхности, образующей которых является прямая линия. Примерами линейчатой развертывающейся поверхности могут быть цилиндрическая и коническая поверхности, гранные поверхности.

Нелинейчатые поверхности - это поверхности с криволинейной образующей. Примерами нелинейчатых поверхностей могут быть сферическая и тороидальная поверхности, поверхности вращения.

Также различают развертывающиеся и неразвертывающиеся поверхности.

Развертывающиеся поверхности - это поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть односторонне совмещены с плоскостью.

Неразвертывающиеся поверхности - это поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью.

При изображении поверхностей на чертеже используются контурные линии, проекции которых на плоскости проекций называются очерками поверхностей, а также указывается видимость поверхности относительно плоскости проекций.

Основные положения:

• для построения проекций точек на поверхности цилиндра и конуса используются их образующие и параллели;
• положение точки на поверхности вращения определяется при помощи окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения. Для построения проекций точки поверхности вращения используются параллели;
• для построения проекций точек на поверхности многогранника используются любые вспомогательные прямые линии, принадлежащие граням.
  

Пример
	По заданной фронтальной проекции A″ найти горизонтальную и профильную проекции точки A, принадлежащей поверхностям прямого кругового цилиндра, прямого кругового конуса и сферы. Определить видимость проекций точек, если точка видима относительно фронтальной плоскости проекций. На рис. 60 представлены три проекции прямого кругового цилиндра, ось вращения которого перпендикулярна горизонтальной плоскости. Проводим фронтальную проекцию образующей цилиндра через A″, она является горизонтально проецирующей прямой и проецируется в точку 1′ на окружности. В точке 1′ будет находиться и горизонтальная проекция точки A - A′, т.к. точка видна относительно фронтальной плоскости проекций. Профильная проекция точки A находится в проекционной связи с проекциями A′ и A″. Чтобы найти профильную проекцию A″′, надо провести линию связи из точки A″ и отложить расстояние y от оси симметрии цилиндра. Все три проекции точки видимы.
Рис. 60. Цилиндр
	На рис. 61 представлены три проекции прямого кругового конуса, ось вращения которого перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. Проводим фронтальную проекцию образующей конуса через A″ и S″ - S″1″. Находим горизонтальную проекцию образующей S′1′ используя линии связи и принадлежность точки 1 окружности основания конуса. Горизонтальная проекция точки A′ находится на пересечении линии связи с горизонтальной проекцией образующей S′1′. Чтобы найти профильную проекцию A″′ надо провести линию связи точки A″ и отложить расстояние y от оси симметрии конуса. Профильная проекция A″′ будет невидима относительно профильной плоскости проекций, т.к. находится на невидимой части поверхности конуса. Горизонтальную проекцию A′ можно было найти вторым способом - с использованием параллели поверхности. Для этого через A″ проводят горизонтальную плоскость H″, которая пересекает поверхность конуса по окружности - параллели, которая проецируется на горизонтальную плоскость проекций без искажения в окружность. Горизонтальная проекция A′, будет принадлежать горизонтальной проекции параллели.
Рис. 61. Конус
	На рис. 62 представлены три проекции сферы. Проводим через A″ фронтальную проекцию параллели, лежащей в горизонтальной плоскости уровня A″. Горизонтальная проекция параллели представляет окружность. Горизонтальная проекция A′ будет находиться на пересечении линии связи с этой окружностью. Профильная проекция A″′ находится по законам проекционной связи и будет видима относительно профильной плоскости проекций, т.к. находится на видимой части поверхности сферы, а горизонтальная проекция A′ будет невидима относительно горизонтальной плоскости проекций.
Рис. 62. Сфера

Пример
	По заданной фронтальной проекции A″ найти горизонтальную и профильную проекции точки A, принадлежащей поверхности пирамиды. Определить видимость проекций точки, если точка видна относительно фронтальной плоскости проекций. На рис. 63 представлены три проекции пирамиды. Из пяти её боковых граней четыре - плоскости общего положения, а одна - профильно проецирующая. Эта грань проецируется на плоскость П3 в виде прямой линии S″′M″′. Четыре ребра призмы занимают общее положение. Ребро SL - профильная прямая, проецируется на плоскость П3 в натуральную величину. Чтобы построить проекции точки A, принадлежащей грани пирамиды, надо провести через точку вспомогательную прямую, принадлежащую этой грани. Эта прямая проводится через вершину пирамиды, либо параллельно стороне основания. Проведем через A″ фронтальную проекцию горизонтали грани SPL до пересечения с проекцией ребра S″P″ в точке 1″. Спроецируем точку 1′ на ребро S′P′. Проведем горизонтальную проекцию горизонтали параллельно стороне основания P′L′. Горизонтальную проекцию A′ найдем на пересечении линии связи с горизонтальной проекцией горизонтали. Профильную проекцию A″′ находим по законам проекционной связи. Все три проекции точки видимы.
Рис. 63. Пирамида

 

• для нахождения линии пересечения цилиндрической и конической поверхностей плоскостью надо найти точки пересечения образующих этих поверхностей с секущей плоскостью.

Пример
	Построить линию пересечения поверхности прямого кругового конуса с фронтально проецирующей плоскостью Ф На рис. 64 представлены горизонтальная и фронтальная проекции прямого кругового конуса. Фронтально проецирующая плоскость Ф″ пересекает поверхность конуса по линии, фронтальная проекция которой совпадает со следом плоскости Ф″. Горизонтальную проекцию линии пересечения будем строить по точкам пересечения образующих конуса со следом плоскости Ф″ (1,2,3,4,5,6,7,8). Так как секущая плоскость пересекает все образующие конуса, то линия пересечения будет представлять собой эллипс, его большая ось определяется точками 1 и 5, а малая ось - точками 3 и 7, которые находятся в середине отрезка 1″5″. Проводим через точки горизонтальные плоскости Н и строим горизонтальную проекцию эллипса.
Рис. 64. Построение линии пересечения конуса

• для нахождения линии пересечения граней поверхности с секущей плоскостью надо найти точки пересечения ребер поверхности с секущей плоскостью - опорные точки и соединить их с учетом видимости.

   

Пример
	Построить линию пересечения поверхности треугольной пирамиды с фронтально проецирующей плоскостью Ф. На рис. 65 представлены две проекции треугольной, пирамиды. Фронтально проецирующая плоскость Ф″ пересекает грани пирамиды по прямым, которые определяются по точкам пересечения ребер пирамиды с секущей плоскостью Ф″. Фронтальные проекции точек пересечения ребер с плоскостью находятся сразу, а горизонтальные проекции точек пересечения определяются в проекционной связи по линиям связи. Линией пересечения является замкнутая ломаная линия, часть которой, принадлежащая грани SAC, является невидимой.
Рис. 65. Построение линии пересечения пирамиды

• для нахождения линии пересечения любой другой поверхности плоскостью надо использовать вспомогательные секущие плоскости. Точки искомой линии определяются в пересечении линий, по которым вспомогательные секущие плоскости пересекают поверхность и плоскость;

  вспомогательную секущую плоскость следует выбирать так, чтобы её линия пересечения с поверхностью проецировалась на плоскости проекций в виде прямой или окружности;

• для построения точек пересечения прямой с поверхностью необходимо через прямую провести вспомогательную секущую плоскость и найти линию пересечения этой плоскости с поверхностью; точки пересечения заданной прямой и построенной линией на поверхности и будут искомые точки пересечения прямой с поверхностью.
  

   

  Пример
  	Определить точки пересечения прямой АВ с поверхностью вращения. На рис. 66 представлены горизонтальная и фронтальная проекции поверхности вращения и прямой АВ. Проведем через прямую АВ фронтально проецирующую плоскость Ф и построим линию пересечения этой плоскости с поверхностью вращения. След плоскости Ф″ пройдет через фронтальную проекцию прямой A″ B″. Для построения линии пересечения плоскости Ф″ и поверхности вращения проведем параллели поверхности вращения и построим горизонтальные проекции точек пересечения параллелей с плоскостью Ф″. Полученные точки соединим кривой линией и на пересечении горизонтальных проекций построенной линии и прямой найдем точки M и N пересечения прямой АВ с поверхностью вращения.
  Рис. 66. Пересечение прямой с поверхностью

   

  ЗАДАЧИ
  	Задача 50	Лежит ли точка А на поверхности усеченного конуса?
  	Задача 51	Построить проекции линии пересечения плоскостей Ф1, Ф2, Ф3 с поверхностью цилиндра, конуса, сферы.
  	Задача 52	Найти точки пересечения прямойАВ с поверхностью вращения.
  	Задача 53	Найти точки пересечения прямой АВ и прямой CD с поверхностью прямого кругового цилиндра. Построить три проекции линии, лежащей на поверхности цилиндра. Определить видимость проекций линии.
  	Задача 54	Найти точки пересечения прямой АВ и прямой CD с поверхностью прямого кругового конуса и построить три проекции линии, лежащей на поверхности конуса. Определить видимость проекций линии.
  	Задача 55	Найти точки пересечения прямой АВ и прямой CD с поверхностью сферы и построить три проекции линии, лежащей на поверхности сферы. Определить видимость проекций линии.