4. ПОВЕРХНОСТИ

4.2 Пересечение поверхностей

Основные положения:

для того, чтобы построить линию пересечения двух поверхностей, нужно найти ряд общих точек, принадлежащих им, и затем эти точки соединить в определенной последовательности; для этого проводят вспомогательную секущую плоскость, находят линии пересечения этой плоскости с каждой поверхностью и на пересечении найденных линий получают искомые точки; последовательно вводя ряд вспомогательных плоскостей, находят необходимое число точек;

если обе поверхности цилиндрические или обе конические, или одна цилиндрическая, а другая коническая, то вспомогательные секущие плоскости следует проводить так, чтобы они пересекали обе поверхности по прямым линиям - образующим этих поверхностей. Точка пересечения образующей одной поверхности с образующей другой принадлежит линии пересечения;

наиболее просты случаи взаимного пересечения поверхностей, когда одна из поверхностей является проецирующей, т.е. образующие этой поверхности перпендикулярны какой-либо плоскости проекций. В этом случае проекции линии пересечения лежат на следе этой поверхности;

Пример
	На рис. 7З представлены два цилиндра вращения, пересекающиеся под углом 90°, со скрещивающимися осями. Каждая из цилиндрических поверхностей является проецирующей. Проекции линии пересечения являются следами цилиндрических поверхностей и находятся в пределах контура наложения их проекций.
Рис. 73. Проецирующие цилиндры

 

Пример
	Найти линию пересечения цилиндра со сферой (рис. 74). Поверхность цилиндра является горизонтально проецирующей, поэтому горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией самого цилиндра. Для нахождения точек фронтальной проекции линии пересечения воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями γ′, параллельными фронтальной плоскости проекций, и определим характерные точки. Вспомогательные плоскости пересекают поверхность сферы по окружности, а поверхность цилиндра - по образующим. На их пересечении получаем точки, принадлежащие линии пересечения. Точки А, В, С, D, E, F являются характерными точками. Низшую (1) и высшую (2) точки находим на пересечении с поверхностью сферы тех образующих цилиндра, которые расположены в горизонтально проецирующей плоскости Гп1, проходящей через ось цилиндра и центр сферы. Соединив все найденные точки кривой линией, получим искомую линию пересечения.
Рис. 74. Построение линии пересечения цилиндра со сферой

любая поверхность вращения пересекается с поверхностью сферы по окружности, если центр сферы лежит на оси вращения (рис. 75);

Рис. 75. Пересечение со сферой.

особые случаи пересечения поверхностей:
а) два цилиндра с параллельными образующими (рис. 76);

Рис. 76. Пересечение двух цилиндров.

б) два конуса с общей вершиной (рис. 77);

 

Рис. 77. Пересечение конусов с общей вершиной.

 

В обоих случаях линиями пересечения поверхностей являются образующие этих поверхностей.

в) если обе пересекающиеся поверхности вращения описаны вокруг общей для них сферы, то пересечение происходит по плоским кривым и одна из проекций линии пересечения представляет прямую линию (рис. 78 и рис. 79);

 

Рис. 78. Пересечение конусов, описанных вокруг общей сферы.	Рис. 79. Пересечение цилиндра и конуса, описанных вокруг общей сферы.

г) два цилиндра одинакового диаметра с пересекающимися осями пересекаются по линиям из двух эллипсов (рис. 80).

 

Рис. 80. Пересечение двух цилиндров одинакового диаметра.

если две поверхности вращения имеют пересекающиеся оси, через которые проходит общая плоскость симметрии, параллельная какой-либо плоскости проекций, то применяют вспомогательные секущие сферы с центром в точке пересечения осей поверхностей.

 

Пример
	Определить линию пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями (рис. 81). Точку пересечения фронтальных проекций осей поверхностей вращения O″ принимаем за центр концентрических окружностей, являющихся проекциями вспомогательных сферических поверхностей. Сферическая поверхность, имеющая центр в точке O, пересекает каждую из заданных поверхностей вращения по окружности. Rmin определится радиусом сферы, касательной к одной поверхности и пересекающей вторую. Полученные с помощью этой секущей сферы точки A и A1 являются крайними левыми точками линии пересечения. Положение этих точек определяется пересечением окружностей 1″, 2″ и 3″, 4″, по которым сфера пересекает обе поверхности. Rmax определится радиусом до наиболее удаленной точки B- точки пересечения очерков поверхностей. Горизонтальные проекции точек находим на соответствующих параллелях поверхности вращения.
Рис. 81. Метод секущих сфер