ФИЗИКА в конспективном изложении. Часть 3

Содержание Назад Далее

 

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

30. Введение в зонную теорию твердых тел

Зонная теория твердых тел - квантовая теория энергетического спектра электронов в кристалле, согласно которой этот спектр состоит  из чередующихся зон разрешенных и запрещенных энергий. Зонная теория объясняет, в частности, различный характер электропроводности металлов, полупроводников и диэлектриков.

30.1. Происхождение энергетических зон в кристаллах

Физически происхождение зонной структуры в кристалле связано с образованием кристалла из N атомов, каждый из которых в свободном состоянии обладает дискретным электронным энергетическим спектром (28.7.5.1, 28.8.2.1).

Мы рассмотрим образование энергетических зон на примере воображаемого процесса образования кристалла лития (щелочной материал) путем последовательного добавления атомов.

 

30.1.1. Схема энергетических уровней двух изолированных атомов лития

Если атомы расположены далеко друг от друга (изолированы), то схемы их энергетических уровней будут совершенно одинаковы: По два электрона с различной ориентацией спинов на уровнях 1s и по одному электрону на уровнях в 2s (28.8.2.1).

30.1.2. Энергетическая схема системы из двух атомов

При сближении двух атомов на расстояние, где их взаимодействием уже нельзя пренебречь, энергетическая схема должна измениться: иначе мы придем в противоречие с принципом Паули (28.8.2). Так при неизменной энергетической схеме на уровне 1s было бы уже по два электрона в одном квантовом состоянии: два со спином вверх и два со спином вниз. Принцип Паули приводит к появлению новых состояний: энергетические уровни расщепляются на два подуровня. Теперь на подуровнях 1s, в полном соответствии с принципом Паули, разместились четыре электрона, по одному в каждом квантовом состоянии.

Обратим внимание на то, что верхний подуровень 2s оказался свободным. Величина расщепления уровней ΔE зависит от расстояния между атомами. При сближении атомов ΔE растет.

Величина ΔE₁ < ΔE₂, так как в состоянии 1s электроны сильнее связаны с ядром, чем в состоянии 2s.

30.1.3. Энергетическая схема системы из трех атомов

Добавим в наш кристалл еще один атом:

Как видно из пространственной схемы минимальное расстояние между атомами - постоянная кристаллической решетки a - осталось неизменным. Значит величина расщепления (ΔE₁ и ΔE₂) будет той же самой, как и для системы из двух атомов (ΔE зависит от минимального расстояния между атомами). Третий энергетический уровень расположился между двумя крайними.

30.1.4. Энергетическая схема для системы, состоящей из N атомов лития. Металлы

Продолжая добавлять в нашу систему атомы и рассуждая аналогично (30.1.2) и (30.1.3), мы придем к выводу, что для системы из N атомов каждый из уровней изолированного атома расщепляется на N подуровней. При этом величина расщепления ΔE не будет зависеть от числа атомов, так как минимальное расстояние между атомами в кристалле остается неизменным. Следовательно, расстояние между соседними подуровнями будет уменьшаться с ростом N - числа атомов в кристалле. Число атомов N имеет порядок числа Авогадро N_A = 6,02·10²³1/моль.

Максимальное расщепление уровней ΔE по порядку величины составляет 1 эВ, значит:

Это очень малая величина по сравнению с величиной kT - добавкой энергии, которую в среднем получает электрон при нагревании. Так, при температуре 1К kT ≈ 10^-4 эВ, что почти на два десятка порядков(!) больше чем δE. Поэтому можно считать, что энергия в такой системе очень близко расположенных подуровней меняется почти непрерывно (квазинепрерывно). Систему подуровней называют разрешенной зоной. В кристалле лития образовалось две разрешенных зоны: из 1s и 2s уровней изолированного атома. Зона, получившаяся из 1s уровня полностью заполнена. Зона, образовавшаяся из валентного 2s уровня, заполнена наполовину (на наших схемах заполнение обозначено штриховкой в клеточку). Между этими зонами находится интервал энергий, запрещенных для электронов: это - запрещенная зона, ее ширину мы обозначаем ΔE_зап.

Нетрудно понять, что кристалл с подобной зонной схемой будет хорошо проводить электрический ток: электроны наполовину заполненной зоны могут под действием внешнего электрического поля увеличивать свою энергию квазинепрерывным образом (δE ~ 10^-23 эВ). Увеличение энергии при приложении внешнего электрического поля связано с возникающим упорядоченным движением электронов - электрическим током (см. (10)). Все металлы хорошо проводят электрический ток, так как имеют энергетическую схему подобную, только что рассмотренной схеме кристалла лития.

30.1.5. Диэлектрики и полупроводники

Будет ли проводить электрический ток вещество с изображенной слева зонной схемой? Здесь валентная  зона полностью заполнена. Следующая зона свободна. Проводимость вещества с подобной зонной схемой зависит от ширины запрещенной зоны ΔE_зап и температуры T.

При вещество относят к полупроводникам, при более широкой запрещенной зоне - к диэлектрикам (изоляторам). Резкой границы между этими классами веществ нет. При T = 0 (и отсутствии других внешних воздействий) кристаллы с подобной зонной схемой проводить электрический ток не будут Объясняется это тем, что слабое внешнее электрическое поле не сможет перевести электроны в свободную зону, поэтому, несмотря на приложенное внешнее поле, электроны под его воздействием не начнут упорядоченного движения.

У полупроводников и при комнатной температуре энергии теплового движения оказывается достаточной, чтобы перевести некоторую малую часть электронов в свободную зону. Там электроны могут увеличивать свою энергию под действием слабого внешнего электрического поля на любую малую величину. Возникает упорядоченное движение зарядов - электрический ток.

Электроны, переброшенные внешним воздействием в свободную зону называют электронами проводимости, а свободная зона называется зоной проводимости. Если ΔE_зап = 0, то мы будем иметь безщелевой полупроводник. При больших значениях кристалл будет диэлектриком (изолятором). Если полностью заполненная валентная зона частично перекрывается со свободной зоной, то вещество называется полуметаллом.

30.1.6. Зонные схемы металла, полупроводника и диэлектрика

В заключение изобразим рядом зонные схемы метaлла, полупроводника и диэлектрика.

30.2. Полупроводники. Собственная проводимость

Из элементов таблицы Менделеева типичными полупроводниками являются германий и кремний. Ширина запрещенной зоны у германия 0,66эВ, у кремния - 1,1эВ (при T = 300К).

Имея по 4 валентных электрона, атомы Ge и Si образуют кристаллические решетки типа алмаза, где каждый атом имеет 4 ближайших соседа, с каждым из которых он связан ковалентной связью.

30.2.1. Пространственная и энергетическая схема возникновения собственной проводимости полупроводников

Условно пространственное расположение атомов в решетке типа алмаза можно представить в виде плоской структуры (см. рисунок а):

При достаточно высокой температуре тепловое движение способно разорвать некоторые связи, удалив электрон в то место кристалла, где все связи заполнены (рис.а). Там электрон будет лишним. Такой электрон в дальнейшем свободно может двигаться по кристаллу, всюду являясь лишним. На рис. б) тот же процесс разрыва одной связи изображен на зонной схеме полупроводника: электрон из валентной зоны перешел в свободную зону (зону проводимости для полупроводника). Там, в зоне проводимости, электрон, как мы выше выяснили, может двигаться под действием сколь угодно малого внешнего электрического поля - создавать электрический ток. Отметим, что электрон в зоне проводимости ведет себя как частица с эффективной массой m*, не равной  массе электрона

30.2.2. Дырки

При разрыве одной связи (удаление с нее одного электрона) на месте этой связи останется нескомпенсированный положительный заряд. На зонной схеме эта ситуация изображается освобождением одного состояния в валентной зоне, до этого полностью заполненной. Такие незанятые электронами (вакантные) состояния называют дырочными состояниями. Дырки ведут себя как частицы с положительным зарядом, равным заряду электрона.

Во внешнем поле они двигаются в направлении вектора напряженности электрического поля, как частицы с эффективной массой m* > 0.

30.2.3. Рекомбинация носителей

Если электрон проводимости, блуждая по кристаллу, встретит дырку (частично разорванную связь), то связь заполнится этим электроном. При этом число электронов проводимости уменьшится на  единицу, одновременно станет на единицу меньше и число дырок.

Этот процесс изображен на рисунке а) и б).

На рисунке а) электрон проводимости заполняет незанятое место в ковалентной связи. На зонной схеме б) этому процессу соответствует переход электрона из зоны проводимости в вакантное состояние (дырку) валентной зоны.

Как видно из рисунка б), энергия электрона проводимости в процессе рекомбинации уменьшается. Избыток энергии может выделиться в виде излучения (излучательная рекомбинация). Возможна безизлучательная рекомбинация, при которой энергия выделяется в виде колебаний решетки или передается другим электронам проводимости, либо дыркам. Излучательная рекомбинация лежит в основе действия полупроводниковых лазеров.

При заданной температуре устанавливается равновесие между процессом образования электронно-дырочных пар и процессом их рекомбинации. Таким образом устанавливается равновесное для заданной температуры число носителей зарядов.

Сибирская государственная геодезическая академия (СГГА), 2006.