ЛЕКЦИЯ N 2

Проблема излучения абсолютно черного тела.
Формула Планка. Закон Стефана-Больцмана, закон Вина

§ 1. Проблема излучения абсолютно черного тела.
Формула Планка

Проблема излучения абсолютно черного тела  состояла в том, чтобы теоретически получить зависимость φ(λ,Т) - спектральную плотность энергетической светимости абсолютно черного тела.

Казалось, что ситуация ясна: при заданной температуре Т молекулы вещества излучающей полости  имеют максвелловское распределение по скоростям и излучают электромагнитные волны в соответствии с законами классической электродинамики. Излучение находится в термодинамическом равновесии с веществом, значит для нахождения спектральной плотности энергии излучения u(λ,T) и связанной с ней функции φ(λ,Т) можно использовать законы термодинамики  и классической статистики.

Однако, все попытки теоретиков получить на основе классической физики закон излучения абсолютно черного тела потерпели неудачу.

Частичный вклад в решение этой проблемы внесли Густав Кирхгоф, Вильгельм Вин, Иозеф Стефан, Людвиг Больцман, Джон Уильям Релей, Джеймс Хонвуд Джинс.

Проблема излучения абсолютно черного тела была решена Максом Планком. Для этого ему пришлось отказаться от классических представлений и сделать предположение о том, что заряд, совершающий колебания с частотой v, может получать или отдавать энергию порциями, или квантами.

Величина кванта энергии в соответствии с (1.2) и (1.4):

где h - постоянная Планка;    v - частота колебаний электромагнитной волны, излученной колеблющемся зарядом; ω = 2πv - круговая частота.

На основе представления о квантах энергии М. Планк, используя методы статистической термодинамики, получил выражение для функции u(ω,Т), дающей распределение плотности энергии в спектре излучения абсолютного черного тела:

Вывод этой формулы будет дан в лекции N 12, § 3 после того, как мы познакомимся с основами квантовой статистики.

Для перехода к спектральной плотности энергетической светимости f(ω,Т) запишем вторую формулу (1.19):

Используя это соотношение и формулу Планка (2.1) для u(ω,T), получим, что:

Это и есть формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости f(ω,T).

Теперь мы получим формулу Планка для φ(λ,Т). Как мы знаем из (1.18), в случае абсолютно черного тела f(ω,T) = r_ω, а φ(λ,Т) = r_λ.

Связь между r_λ и r_ω дает формула (1.12), применяя ее мы получим:

Здесь мы аргумент ω функции f(ω,Т) выразили через длину волны λ. Подставляя сюда формулу Планка для f(ω,Т) из (2.2), получим формулу Планка для φ(λ,Т) - спектральной плотности энергетической светимости в зависимости от длины волны λ:

График этой функции хорошо совпадает с экспериментальными графиками φ(λ,Т) для всех длин волн и температур.

Это и означает, что проблем излучения абсолютно черного тела решена.

§ 2. Закон Стефана-Больцмана и закон Вина

Из (1.11) для абсолютно черного тела, когда r_ω = f(λ,Т), получим энергетическую светимость R(T), интегрируя функцию f(ω,Т) (2.2)  во всем интервале частот.

Интегрирование дает:

Введем обозначение:

тогда выражение для энергетической светимости R примет следующий вид:

Это и есть закон Стефана-Больцмана.

М. Стефан на основе анализа опытных данных пришел в 1879 г. к выводу, что энергетическая светимость любого тела пропорциональна четвертой степени температуры.

Л. Больцман в 1884 г. нашел из термодинамических соображений, что такая зависимость энергетической светимости от температуры справедлива лишь для абсолютно черного тела.

Постоянная σ носит название постоянной Стефана-Больцмана. Ее экспериментальное значение:

Вычисления по теоретической формуле дают для σ результат очень хорошо согласующийся с экспериментальным.

Отметим, что графически энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т), это иллюстрирует  рисунок 2.1.

Рис. 2.1

Максимум графика спектральной плотности энергетической светимости φ(λ,Т) при повышении температуры смещается в область более коротких волн (рис. 2.2). Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум. Определив положение этого максимума, мы получим закон его перемещения с изменением температуры.

Рис. 2.2

Как известно из математики, для исследования функции на максимум надо найти ее производную и приравнять к нулю:

Подставив сюда φ(λ,Т) из (1.23) и взяв производную, получим три корня алгебраического уравнения относительно переменной λ. Два из них (λ = 0 и λ = ∞) соответствуют нулевым минимумам функции φ(λ,Т). Для третьего корня получается приближенное выражение:

 

Введем обозначение:

тогда положение максимума функции φ(λ,Т) будет определятся простой формулой:

Это и есть закон смещения Вина.

Он назван так в честь В. Вина, теоретически получившим в 1894 г. это соотношение. Постоянная в законе смещения Вина имеет следующее численное значение:

Итоги лекции N 2

1. Проблема излучения абсолютно черного тела состояла в том, что все попытки получить на основе классической физики зависимость φ(λ,Т) - спектральную плотность энергетической светимости абсолютно черного тела потерпели неудачу.

2. Эту проблему решил в 1900 г. М. Планк на основе своей гипотезы квантов: заряд,  совершающий колебания с частотой v, может получить или отдавать энергию порциями или квантами. Величина кванта энергии:

   

   здесь h = 6,626 ·10^-34 - постоянная Планка, величина  Дж·с также называется постоянной Планка ["аш" с чертой], ω - круговая (циклическая) частота.

3. Формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела имеет следующий вид (см. (2.4):

   

   здесь λ - длина волны электромагнитного излучения, Т - абсолютная температура, h - постоянная Планка, с - скорость света в вакууме, k - постоянная Больцмана.

4. Из формулы Планка следует выражение для энергетической светимости R абсолютно черного тела:

   

   которое позволяет теоретически вычислить постоянную Стефана-Больцмана (см. (2.5)):

   

   теоретическое значение которой хорошо совпадает с ее экспериментальным значением:

   

   в законе Стефана-Больцмана (см.(2.6)):

   

5. Из формулы Планка следует закон смещения Вина, определяющий λ_max - положение максимума функции φ(λ,Т) в зависимости от абсолютной температуры (см. (2.9):

   

   Для b - постоянной Вина - из формулы Планка получается следующее выражение (см. (2.8)):

   

          Постоянная Вина имеет следующее значение  b = 2,90 ·10^-3 м·К.