Электричество

Предыдущая страница ! Содержание Следующая страница !

9.4. Теорема Гаусса

9.4.1. Поток вектора напряжeнности электрического поля

9.4.1.1. - Поток вектора для однородного поля

Для

Здесь

- вектор нормали к поверхности S.

9.4.1.2. Поток вектора через бесконечно малую площадку в неоднородном поле

Как и в (9.4.1.1):

9.4.1.3. Поток вектора через произвольную поверхность в неоднородном поле

9.4.1.4. Поток пропорционален числу силовых линий
Ф пропорционален числу линий напряженности, проходящих через площадь S (9.3.3) и (9.3.8)

9.4.2. Поток вектора через сферу (для поля точечного заряда).

9.4.2.1. Заряд - в центре сферы
На поверхности сферы поле постоянно по величине (9.3.7.):

В любой точке сферы поле направлено перпендикулярно ее поверхности, т.е.

Из (9.4.1.3):

Мы получили, что:

9.4.2.2. Заряд в произвольном месте внутри сферы

Поток Ф пропорционален числу силовых линий, проходящих через сферу, а их число не изменяется при изменении положения заряда внутри сферы, т.е. поток тоже будет постоянным:

9.4.2.3. Поток вектора поля точечного заряда через "измятую" сферу - произвольную поверхность
Число проходящих через "измятую" сферу силовых линий не изменилось, т.е.

Эта формула верна для потока вектора Е поля точечного заряда, расположенного ВНУТРИ замкнутой поверхности произвольной формы.

"Измятая" сфера:

9.4.2.4. Поток вектора Е поля системы зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности

Т.к. (9.3.6) , то по (9.4.1.3) и (9.4.2.3)

Для произвольного числа зарядов N:
- алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности, делённая на ε₀.

9.4.2.5. Поток вектора Е для поля, созданного зарядами, находящимися вне замкнутой поверхности

Силовая линия дважды проходит через замкнутую поверхность, один раз она учитывается со знаком "+", другой раз - со знаком "-". В результате поток в этом случае Ф = 0.

9.4.3. Формулировка теоремы Гаусса

Из (9.4.2.4) и (9.4.2.5) следует, что

поток вектора напряженности электрического поля через ЛЮБУЮ замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, деленной на ε₀:

Из (9.4.1.3) , тогда теорема Гаусса запишется так:

9.4.4. Применение теоремы Гаусса для вычисления полей.
Теорема Гаусса:

S - любая замкнутая поверхность,

- сумма зарядов внутри S.
Применяя теорему Гаусса, мы должны:

а) САМИ выбрать конкретную гауссову поверхность S, такую, чтобы интеграл по этой поверхности легко считался. Затем найти ;

б) посчитать сумму зарядов внутри выбранной нами S;

в) приравнять результат полученный в пункте а), к результату, полученному в пункте б), деленному на ε₀.

9.4.4.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

а) выбор гауссовой поверхности:
куда может быть направлено - только по нормали к плоскости! Значит, S надо выбрать так, чтобы вектор был либо параллелен ей (Е_n=0), либо перпендикулярен (Е_n=E).
Этим условиям удовлетворяет, например, "гауссов ящик", изображенный на рисунке.