ВОЛНЫ 15. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ

Содержание Назад Далее

15.1. Основные определения

15.1.1. Что такое упругая волна?

Упругая волна - это процесс распространения колебаний в упругой среде. Характерное свойство волны - перенос энергии без переноса вещества.

15.1.2. Описание волны

Для описания волны надо ввести функцию, в общем случае - векторную, задающую смещение от положения равновесия каждой частицы упругой среды для любого момента времени. Обозначим эту функцию греческой буквой [кси]. Аргументами ее, в соответствии с вышесказанным, будут три пространственные переменные - x, y, z, задающие положение частицы (или радиус-вектор ), и время t, т.е.

.

15.1.3. Скорость движения частиц упругой среды

- это частная производная от смещения по времени, т.е.

,

с такой скоростью частицы среды колеблются около своих положений равновесия.

15.1.4. Продольные и поперечные волны

Обозначим через скорость распространения волны. Если направление смещения (и скорость частицы ) совпадают с направлением скорости волны, то волна называется продольной. Если и взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.

15.1.5. Фронт волны

- поверхность, отделяющая часть пространства, охваченную волновым процессом, от той части, где колебания не возникли.

15.1.6. Волновая поверхность

- это геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

15.1.7. Плоская и сферическая волны

Плоская волна - волновые поверхности - плоскости. Сферическая волна - волновые поверхности - сферы. В общем случае форма волновых поверхностей может быть любой.

15.1.8. Длина волны

- это расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний.

       см. (3.9),

Так как (14.1.1.3)        ,

то                                  или     .

15.2. Уравнение плоской волны.

Пусть в начале координат находится твердая плоскость, которая колеблется по гармоническому закону и вынуждает частицы упругой среды, находящейся рядом с ней, колебаться по этому же закону. Направим ось x перпендикулярно этой плоскости. Тогда вдоль этой оси будет распространяться плоская гармоническая продольная волна. Наша задача - найти - уравнение волны, если задано .

Колебания до волновой поверхности, удаленной от начала координат на расстояние x, дойдут через время , значит уравнение волны

.

15.2.1. Фаза волны

- это аргумент у косинуса в уравнении волны, т.е.

,

Фаза плоской волны зависит от двух переменных - x и t.

15.2.2. Фазовая скорость

- это скорость перемещения в пространстве поверхности, вдоль которой фаза волны (15.2.1) остается постоянной, т.е.

.

Найдем производную от этого выражения по времени:

,

откуда искомая фазовая скорость волны:

.

15.2.3. Уравнение плоской волны,

распространяющейся в направлении, противоположном оси x:

.

Из (15.2.2) для этой волны:

.

15.2.4. Волновое число, симметричная форма уравнения волны

.

Введем

   - волновое число.

Тогда

.

При такой записи координата х и время t входят в уравнение волны симметрично.

15.2.4.1. Связь волнового числа с длиной волны

.

15.2.5. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении. Волновой вектор

,

здесь - волновой вектор,

         - скалярное произведение волнового вектора и радиус-вектора.

 

Сибирская государственная геодезическая академия (СГГА), 2003.