Физические основы механики

Предыдущая страница ! Содержание Следующая страница !

8. Элементы специальной теории относительности

8.1. Преобразования Галилея - это уравнения, связывающие координаты и время некоторого СОБЫТИЯ в двух инерциальных системах отсчета. СОБЫТИЕ определяется местом, где оно произошло (координаты x, y, z), и моментом времени t, когда произошло событие. Событие полностью определено, если заданы четыре числа: x,y,z,t - координаты события.

Пусть материальная точка m в системе отсчета К в момент времени t имела координаты x, y, z, т.е. в системе К заданы координаты события - t, х, y, z.

Найдем координаты t', x', y', z' этого события в системе отсчета К', которая движется относительно системы К равномерно и прямолинейно вдоль оси х со скоростью .

Выберем начало отсчета времени так, чтобы в момент времени t = 0 начала координат совпадали. Оси х и х' направлены вдоль одной прямой, а оси у и у', z и z' - параллельны.

Тогда из рисунка ОЧЕВИДНО:

x = x'+Vt .

Кроме того, ясно, что для наших систем координат

y = y',
z = z'.

В механике Ньютона предполагается, что

t = t',

т.е. время течет одинаково во всех системах отсчета.
Полученные четыре формулы и есть преобразования Галилея:

x = x' + Vt,
y = y',
z = z',
t = t'.

8.2. Принцип относительности Галилея:

Никакими механическими опытами нельзя установить, покоится ли данная система отсчета или движется равномерно и прямолинейно.

Это утверждение согласуется с преобразованиями Галилея. Продифференцируем их 2 раза по времени. После первого дифференцирования получим закон сложения скоростей:

,		,
,	т.е., по (3.8):	,
,		,

Второе дифференцирование дает

,		,
,	т.е., по (3.10):	,
,		.

Ускорение материальной точки одинаково в обеих системах отсчета. Кроме того, силы, действующие на частицу, одинаковы, не изменяется и величина m (по определению, это масса покоя).

Значит, в системе К второй закон Ньютона

такой же, как и в системе К'

т.к. a = a' - следствие преобразований Галилея.
Иными словами, на теоретическом уровне, принцип относительности Галилея можно сформулировать так :

Законы механики одинаково выглядят во всех инерциальных системах отсчета.

8.3. Неудовлетворительность механики Ньютона при больших скоростях

Рассмотрим с точки зрения преобразований Галилея движение света.

В системе К' его скорость v'_x= c. Тогда, используя полученный закон сложения скоростей из 8.2. для скорости света в системе К мы найдем:

Опубликованные в 1881 г. результаты опытов, выполненных американским физиком А. Майкельсоном, находятся в противоречии с только что полученной нами формулой: галилеевский закон сложения скоростей не годится для света. Скорость света оказалась одинаковой в разных системах отсчета!

В 1895 г. французский математик, физик и философ А. Пуанкаре впервые выступил с новаторским предложением о невозможности никакими физическими опытами (не только механическими, как в принципе относительности Галилея) зарегистрировать абсолютное движение. В 1902 г. он же публикует в книге "Наука и гипотеза" утверждение об отсутствии абсолютного времени, т.е. t ≠ t'.

Законченная теория, позволяющая описывать движение частиц со скоростями v → с, была опубликована в 1905 г. в работах А. Пуанкаре и А. Эйнштейна.

8.4. Постулаты С.Т.О.
Механика больших скоростей, специальная теория относительности (С.Т.О.),
базируется на двух исходных утверждениях, постулатах:

Принцип относительности, согласно которому

никакими физическими опытами нельзя установить, покоится ли данная система отсчета, либо движется равномерно и прямолинейно.

Другая формулировка:

Все законы природы одинаково формулируются для всех инерциальных систем отсчета .

Принцип постоянства скорости света:

cкорость света в вакууме во всех инерциальных системах отсчета одинакова и не зависит ни от движения источника, ни от движения приемника света .

8.5. Преобразования Лоренца - это уравнения, связывающие координаты и время некоторого события (8.1) в двух инерциальных системах отсчета. В отличие от преобразований Галилея преобразования Лоренца не должны противоречить постулатам С.Т.О.: необнаружимости абсолютного движения и постоянству скорости света. При скорости движения системы отсчета V<< c преобразования Лоренца должны переходить в преобразования Галилея.

8.5.1. Вывод преобразований Лоренца

Для вывода преобразований Лоренца рассмотрим в двух системах отсчета мысленный опыт. Одна система К - неподвижна, другая К' движется вдоль оси х со скоростью V. Пусть в момент времени t = t' = 0, когда начала систем координат совпадали, в этом начале произошла вспышка света и стала распространяться сферическая световая волна. В соответствии с постулатом I фронт этой волны будет сферой в обеих системах отсчета, сфера эта будет, в соответствии с постулатом II, увеличивать свой радиус со скоростью света и в той, и в другой системе отсчета.

Опираясь на эти требования, найдем вид правильных преобразований координат и времени. В качестве пробного возьмем преобразование Галилея, а затем его подправим.
Фронт световой волны в системе К - это сфера радиуса ct:

x² + y² + z² = c²t²:

В системе К' уравнение фронта этой волны, в соответствии с постулатами I и II

(x')²+(y')²+(z')²=c² (t')²,

пробуем преобразования Галилея, переходим в К:

(x')² = (x - Vt)²,
(y')² = y²,
(z')² = z²,
(t')² = t²,

отсюда следует:

x² - 2Vxt + V²t² + y² + z² = c²t²,

сравните с

(x')²+(y')²+(z')² = c²(t')².

Появились ЛИШНИЕ ЧЛЕНЫ, надо так изменить преобразования, чтобы они исчезли.
Пробуем преобразования:

x' = x- Vt, y'=y, z'=z, t'=t-αx

x² - 2Vxt + V²t² + y² + z² = c²t² - 2c²αxt + c²α²x²

приравниваем подчеркнутые члены,
получаем:

При таком α остается:

Перегруппируем члены:

Подправим преобразование так, чтобы исчезли выражения в скобках, для этого возьмем

Такие преобразования сохраняют вид уравнения фронта световой волны, сфера преобразуется в сферу, в соответствии с постулатами С.Т.О.
Обозначим, для удобства записи,

тогда преобразования Лоренца запишутся так:

а) прямые		б) обратные
;		;
;		;
;		;
;		.

Релятивистская механика должна быть построена таким образом, чтобы уравнения движения не менялись при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, т.е. были инвариантны относительно преобразований Лоренца.

8.6. Следствия из преобразований Лоренца

8.6.1. Одновременность событий в разных системах отсчета

В системе K' одновременно (в момент времени t'), нo в разных местах (x'₁ и, x'₂) произошли два события.

Время первого события в системе К:

второго

Видно, что t₂> t₁, т. к. x'₂>x'₁. В системе К события не одновременны.

8.6.2. Промежуток времени между двумя событиями

Пусть в системе К' в одной и той же точке с координатой х' происходят в моменты времени t'₁ и t'₂ два события (например, две вспышки света). В этой системе промежуток времени между событиями:

В системе К:

Т.к. γ всегда больше единицы, то Δt > Δt'.

8.6.3. Длина тела в разных системах отсчета

Пусть стержень длины l₀ лежит вдоль оси x' в системе К'. Как измерить его длину в системе К, относительно которой он движется?

Мы, в системе К, должны в один и тот же момент времени t (по чаcам системы К) измерить координаты начала и конца стержня. Их разница и будет длиной движущегося стержня. Тогда:

8.6.4. Преобразование скоростей

Пусть материальная точка движется в системе К со скоростью

.
Система K' движется со скоростью

относительно K.

Компоненты скорости материальной точки (3.8.2.):

Т.к.

;

То

; ; .

Это формулы релятивистского преобразования скоростей, они дают связь между компонентами скорости частицы в различных системах отсчета: в системе K и в движущейся со скоростью V системе K'.

8.7. Релятивистская динамика

8.7.1. Релятивистский импульс

В классической механике